le scienze

I problemi di Hilbert

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1   L’ipotesi del continuo
2   La non contraddittorietà degli enunciati dell’Aritmetica
3   L’uguaglianza in volume di due tetraedri aventi superficie di base ed altezza uguali
4   Il problema della retta come curva di minima distanza tra due punti
5   Il concetto di Lie dei gruppi continui di trasformazioni, senza l’ipotesi della differenziabilità delle funzioni che definiscono i gruppi
6   Trattazione matematica degli assiomi della fisica
7   Irrazionalità e trascendenza di alcuni numeri
8   Problemi sui numeri primi
9   Dimostrazione della più generale legge di reciprocità in un qualsiasi corpo numerico
10 Decisione della risolubilità di una equazione diofantea
11 Forme quadratiche con coefficienti algebrici numerici arbitrari
12 Estensione del teorema di Kronecker sui corpi abeliani, ad un qualsiasi dominio algebrico di razionalità
13 Impossibilità della risoluzione dell’equazione generale di 7° grado mediante funzioni di due soli argomenti
14 Dimostrazione della finitezza di certi sistemi completi di funzioni
15 Fondamenti rigorosi del calcolo enumerativo di Schubert
16 Problema della topologia delle curve e superfici algebriche
17 Espressione di forme definite mediante quadrati
18 Generazione dello spazio a partire da poliedri congruenti
19 Le soluzioni di problemi regolari sul calcolo delle variazioni sono sempre necessariamente analitiche ?
20 Il problema generale dei valori al contorno
21 Dimostrazione dell’esistenza di equazioni differenziali lineari aventi un prescritto gruppo di monodromia
22 Uniformizzazione di relazioni analitiche mediante funzioni automorfe
23 Ulteriori sviluppi dei metodi del calcolo delle variazioni

(dalla conferenza tenuta al Congresso Internazionale dei Matematici. Parigi, la mattina dell’8 agosto 1900)

 

I problemi di Hilbert: rilevanza storica e metodologica

(da E. Ambrisi e B.Rizzi, I problemi di Hilbert : rilevanza storica e metodologica, in Periodico di Matematiche, n.2/1993)

Premessa
Cosa ci riserva il futuro?
Come prefigurarsi ciò che accadrà domani, fra un anno o più in là?
Riteniamo che questa sia una domanda connaturata all’uomo pensante, qualunque sia l’attività che lo impegna.
Ed è con questo quesito che David Hilbert aprì la sua conferenza “Mathematische Probleme” al secondo congresso internazionale dei matematici a Parigi. Era il 1900: un anno che chiudeva un secolo, a ragione ritenuto aureo per la grande messe di risultati matematici prodotti, ed era l’inizio di un altro le cui aspettative si prefiguravano non meno lusinghiere.

“Chi di noi – iniziò Hilbert – non vorrebbe sollevare il velo sotto cui sta nascosto il futuro, per gettare uno sguardo sui prossimi progressi della nostra scienza e sui segreti del suo sviluppo durante i secoli venturi? Quali saranno gli speciali obiettivi a cui mireranno le più insigni menti matematiche delle generazioni future? Quali nuovi metodi e quali nuovi risultati scopriranno i nuovi secoli, nell’ampio e ricco campo del pensiero umano?”.

A meno di essere dei chiaroveggenti, come fare per vedere nel futuro, quale metodo o calcolo applicare?
L’idea di Hilbert ancora oggi è molto valida proprio perchè pratica e razionale: “Se vogliamo immaginarci lo sviluppo presumibile della conoscenza matematica nel prossimo futuro, dobbiamo far passare davanti alla nostra mente le questioni aperte e dobbiamo considerare i problemi che sono posti dalla scienza attuale e la cui soluzione attendiamo dal futuro. Questi giorni, che stanno a cavallo tra due secoli, mi sembrano ben adatti per una rassegna dei problemi ….”. Si trattava in definitiva di fare il punto della situazione, una completa ricognizione dell’esistente e su questa si sarebbe potuto prevedere ed innestare un programma di attività e di ricerca.

L’idea come è stato detto conserva una sua validità e per molti esperti risulta particolarmente eccitante. Il logico e matematico Hao Wang ad esempio, ha scritto:

“Se un gruppo di persone sufficientemente rappresentativo compilasse una lista di venti o trenta problemi oggi al centro dell’attenzione, si potrebbe adoperarla come base per:

1) raffigurare lo stato attuale della matematica e le relazioni di questa disciplina con le altre scienze;
2) riesaminare la storia;
3) prevedere le tendenze future;
4) individuare un qualche tipo di unità concettuale nel complesso della matematica;
5) discutere alcune delle eterne questioni epistemologiche.
Hilbert operò dunque la sua rassegna di problemi e la lista che ne propose rimane, fino ad ora, un fatto unico, irripetuto e chissà quando e se ripetibile.

 

La rassegna di Hilbert
I problemi che compongono la rassegna di Hilbert sono 23, e non tutti egli riuscì ad esporre la mattina di quel Mercoledì 8 agosto. Possiamo suddividerli in tre gruppi.

Il primo gruppo, i problemi da 1 a 6, sono di natura fondazionale. Il primo di essi, come è noto, riguarda la ipotesi del continuo; il secondo la non contraddittorietà dell’aritmetica.
Tra le poche osservazioni dei congressisti alla relazione di Hilbert, una riguardava questo secondo problema e fu avanzata da G. Peano il quale obiettò che a parer suo il sistema con le proprietà volute era già stato formulato dai suoi compatrioti Burali-Forti, Padoa e Pieri. Peano dichiarò anche che la relazione di Padoa che sarebbe stata presentata al congresso : Un nuovo sistema di postulati irriducibili per l’algebra avrebbe risposto al problema.

Il terzo e il quarto problema sono di natura geometrica, il quinto è incentrato sul concetto di S.Lie dei gruppi continui di trasformazione, il sesto riguarda la trattazione matematica degli assiomi della fisica e la fondazione assiomatica della probabilità.

Il secondo gruppo di problemi dal 7 al 14, è di natura aritmetica e algebrica. Tra questi i più noti sono il 7 – sulla irrazionalità e trascendenza di alcuni numeri -, l’8 -sui numeri primi e l’ipotesi di Riemann – e il decimo sulla risolubilità di equazioni diofantine.

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funzione Z di Riemann

 

Il problema 15 riguarda la fondazione rigorosa del calcolo della numerazione di Schubert e l’ultimo gruppo dal 16 al 23 sostanzialmente la topologia e l’analisi. Si differenzia forse il 18, insieme al 3 e 4, tra i pochi problemi di natura prettamente geometrica e di cui si è recentemente occupata la stampa. Riguarda, questo problema, la distribuzione delle sfere nello spazio.

I problemi 19, 20 e 23 riguardano il calcolo delle variazioni alle cui questioni Hilbert assegnava una grande importanza prevedendone anche una marcata influenza nel successivo sviluppo della ricerca matematica. E così è stato.

Un commento merita pure il problema 22 sulla uniformizzazione di relazioni analitiche mediante funzioni automorfe.
La classica teoria della uniformizzazione, sviluppata principalmente nelle ultime due decadi del XIX secolo e la prima decade del XX secolo, consisteva nel dimostrare che ogni curva, algebrica o analitica, può essere uniformizzata, cioè rappresentata parametricamente da funzioni ad un sol valore o uniformi.

La storia della teoria – a parere di L. Bers – è affascinante prima di tutto per la ricchezza di idee matematiche che ne sono sorte: la dimensione topologica, il ricoprimento dello spazio, le applicazioni conformi e quasi conformi, ecc.
Ma ugualmente affascinante è l’aspetto umano: Schotcky, ad esempio pervenne a congetturare un teorema di uniformizzazione abbastanza generale ma rinunciò ad andare avanti nel suo lavoro per il giudizio non incoraggiante dell’autorevole K.Weierstrass e similmente avvenne per il giovane Poincarè per l’avversione questa volta di F. Klein che per quanto fosse di poco più anziano era già allora all’apice della notorietà e del peso scientifico.
Hilbert ebbe il merito di richiamare l’attenzione verso il problema e fu lo stesso Poincarè, un quarto di secolo dopo il suo primo interesse per la teoria, a risolvere pienamente il problema nella forma posta da Hilbert dividendone però il merito con Koebe.

 

L’importanza espositiva e didattica
La lista di Hilbert riscontrò un consenso unanime ed enorme fu la sua incidenza: i suoi problemi giocarono il ruolo di grandi problemi, di veri e propri punti di riferimento o mete alle quali il lavoro dei matematici doveva tendere e mirare.

Aprivano dei tracciati e ne illuminavano i percorsi ed è indubbio che ciò giovò alla ricerca scientifica, ad indirizzare i giovani matematici ed anche a rinnovare corsi universitari e con questi anche l’insegnamento della matematica nelle scuole ne trasse grossi benefici.
Di lì a poco molti dei problemi di Hilbert cominciarono ad avere una risposta e i percorsi di ricerca prima illuminati dettero luogo ad itinerari didattici, universitari e secondari, accettati ed universalmente seguiti.
Dal punto di vista espositivo e didattico, si trattò di un avvenimento eccezionale che comportò una precisa organizzazione e sistemazione della matematica anche se questa veniva compiuta in riferimento ai punti terminali cioè ai problemi da risolvere e ai nodi da sciogliere – un analogo di ben definiti e precisati obiettivi educativi e didattici – e non già ai punti di partenza, che pure furono il fondamento delle ricerche di Hilbert e del suo programma formalista.

Furono questi ultimi d’altronde a richiamare molta dell’attenzione del gruppo Bourbaki (per molti versi e a ragione ritenuto continuatore del programma hilbertiano) costituitosi in Francia negli anni 1934/35 nell’intento di costruire non una ma la sistemazione delle matematiche.

Anche Bourbaki ha finito per avere una enorme influenza sul piano dell’educazione matematica sospinto e collaborato dalle ricerche psicologiche di J.Piaget che, in accordo e parallelamente a Bourbaki, vedeva alla base dello sviluppo psicologico del fanciullo le stesse strutture che Bourbaki aveva chiamato “strutture madri” e posto a fondamento della matematica.
Nel loro influsso sulla didattica, Hilbert e Bourbaki-Piaget sono per certi versi complementari: mentre il primo stabilisce le “mete” (che una volta raggiunte scoprono nuovi panorami) che tracciano e illuminano il percorso più adeguato, l’itinerario migliore per arrivarci, il secondo suppone che esistano “punti” da cui tutto ciò che è noto si offre al panorama.

Per quanto riguarda gli effetti, Hilbert ha stabilito un ordine e un itinerario didattico standard, Bourbaki-Piaget ha prodotto una grossa perturbazione in quest’ordine.

Oggi la situazione appare decisamente diversa ed in particolare priva di punti di riferimento.
Non v’è più una teoria degli insiemi ma v’è l’informatica, ed è qualcosa di diverso; non vi sono particolari e nuovi argomenti o capitoli di cui si raccomanda l’importanza e l’inserimento nei programmi ufficiali di studio ma piuttosto e più semplicemente l’esigenza di una maggiore speditezza e significatività nella presentazione della matematica.

Il discorso da interno alla disciplina e sostanzialmente di grossa perturbazione dei curricoli standard o canonici è divenuto più generale, tecnologico e di costume, con particolare attenzione alla sistemazione e alla organizzazione dei concetti e delle procedure ed anche le discussioni sulle geometrie sono mutate: il globalismo del programma di Klein sembra aver lasciato il posto ad una più generale distinzione tra geometria della natura e geometria euclidea che acquista sempre più il carattere, per dirla con Monod, di una geometria teleonomica cioè rispondente ad un progetto, un progetto intellettuale dell’uomo quindi un artefatto cioè etimologicamente un prodotto dell’arte dell’uomo.

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I problemi generali
Ma torniamo ad Hilbert.
A conclusione del suo articolo, Hilbert asserisce che i problemi da lui menzionati “sono solo campioni di problemi; ma sono sufficienti a far vedere quanto sia ricca, quanto sia varia, quanto sia estesa oggi la scienza matematica”.
Questa constatazione, questo stato di fatto – alla data del 1900 – lo spinge a sollevare due domande che costituiscono esse stesse due grandi problemi di carattere generale che si può azzardare di chiamare problemi 24 e 25 di Hilbert.

Si chiede Hilbert:
24) non è imminente per la matematica ciò che da tempo è già accaduto per le altre scienze, cioè di dividersi in singole sottoscienze i cui esponenti difficilmente si comprendono ancora tra di loro e le cui connessioni perciò si allentano sempre più?

25) con l’estendersi della scienza matematica non diverrà alla fine impossibile per il singolo ricercatore comprendere tutte le parti?

Quanto sia varia e quanto sia ricca oggi la matematica è certamente lecito chiederselo e alle domande di Hilbert è probabile che non si possa rispondere con il medesimo suo ottimismo con la medesima sua fede sulla risolubilità di ogni problema, sulla inesistenza di un qualsiasi ignorabimus, sulla unità della matematica, quasi una realtà ontologica.
L’analisi è possibile proprio esaminando i tentativi fatti di ripetibilità del lavoro di Hilbert.

 

La ripetibilità della rassegna
Ci si è interrogati spesso sulla ripetibilità della rassegna operata da Hilbert e abbiamo già riferito di H. Wang. Ma gli esempi sono molteplici.

Recentemente J. Ewing, in occasione di uno dei congressi matematici, ha ripreso la questione esprimendo l’augurio che un matematico o un equipe di matematici ritentasse di realizzare ciò che al merito del solo Hilbert si può finore ascrivere. Ma l’idea di utilizzare la lista di Hilbert quale base per valutare i progressi compiuti dalla matematica nell’arco di più decenni è stata spesso riproposta e a John von Neumann fu esplicitamente chiesto di fornire una lista aggiornata al 1954. Von Neumann, però, declinò l’invito dichiarandosi “incapace di spaziare in un così vasto campo”.

Vent’anni dopo, nel maggio del 1974, l’American Mathematical Society organizzò uno speciale simposio con lo scopo di valutare gli sviluppi e le conseguenze di ognuno dei ventitre problemi posti da Hilbert e allo stesso tempo anche con l’obiettivo di stilare un elenco dei problemi attuali e la consapevolezza della difficoltà dell’operazione è insita nel fatto che per renderla più possibile si restrinse il campo a quei problemi che avessero un legame con i problemi di Hilbert una sorta di filiazione diretta o anche riflessa.

Il lavoro preparatorio di quest’ultimo impegno fu iniziato da J. Dieudonnè e portato a compimento da F.E. Browder attraverso una fittissima corrispondenza con matematici impegnati nei diversi campi di ricerca ed in ogni parte del mondo.

E’ certamente un lavoro molto impegnativo e per quanto condensato in poche pagine, enorme. Il gran numero di matematici impegnati, la loro competenza specifica, le modalità stesse di listare i problemi per settori testimoniano di quanto sia varia e ricca oggi la matematica tanto da non stare più nella mente di una sola persona.
Il prodotto di questo lavoro è una lista di circa 130 problemi suddivisi in 27 branche o aree della matematica e frutto delle risposte di una trentina di specialisti. Frutto del lavoro dunque di più intelletti e non la sintesi elaborata da una mente sola come fu per il lavoro di Hilbert.

E’ dunque necessario riferirsi a problemi più generali e tra questi appare essenziale oggi il problema della comunicazione. E’ lo stesso Wang che inserisce tra i problemi generali che la matematica si trova ad affrontare quello della comunicazione. Esposizione, inserimento, meccanizzazione della matematica – egli dice – sono tra i problemi fondamentali che la matematica si trova ad affrontare. Problemi di comunicazione piuttosto che di ottenimento di nuovi frammenti di matematica. Costituzione ancora di una critica matematica come analogo della critica letteraria.

Questo della comunicazione è un problema molto avvertito e discende anche ed è in accordo alle conclusioni alle quali sono pervenuti molti studiosi di intelligenza artificiale. Il principio enunciato da S. Papert ad esempio, secondo il quale nuovi stadi della conoscenza si raggiungono sfruttando ciò che già si sa o le risultanze del lavoro di M.Minsky per il quale dobbiamo trovare nuove forme di gestione ed amministrazione delle cose note.
L’accordo, cioè, stabilito alcuni decenni fa, tra ricerca matematica e ricerca psico-pedagogica ha trovato oggi un suo rinnovamento per il concorso anche delle indagini e degli studi di intelligenza artificiale.

Oggi si è sostanzialmente d’accordo sul fatto che non basta e non è sufficiente imparare molte cose; occorre, è necessario anche gestire ciò che si impara.
Così tutti gli insegnanti nella loro esperienza sanno di aver compreso perfettamente una cosa nell’atto di spiegarlo a qualcun altro. Esposizione, critica, valutazione sono attività per cervelli mediocri scriveva sul finire della sua carriera, intensamente creativa, il grande G. Hardy; oggi, di contro per il fisico e cosmologo S. Hawking, la spiegazione è il fine ultimo della scienza.

Organizzazione del sapere e spiegazione si presentano cioè come ineludibili problemi attuali non solo della matematica ma dell’intera scienza.
Si colloca qui dunque e si chiarifica il problema dell’insegnamento. Il problema di come insegnare la matematica è più che altro il problema di come ricreare la conoscenza matematica, il sapere matematico e questo intimamente connesso al problema più generale di un impegno collettivo di comunicazione, esposizione, organizzazione. Questo concetto ha origini antiche e si è più volte ripresentato nella storia. Un esempio lo troviamo nelle pagine di uno dei nostri più grandi poeti e prosatori, in G. Leopardi. In una delle sue Operette Morali, il Parini ovvero della Gloria, scrive che ordinariamente si crede che il progresso del sapere dipende dai grossi geni. Certamente il sapere deve molto a questi; ma, contrariamente a ciò che si ritiene, il suo progresso deve meno ai grandi ingegni e molto di più agli ingegni ordinari o anche mediocri i quali riflettendo sulle nuove idee, sui risultati ottenuti dalle grandi menti pian piano li rendono intelligibili a sè e a un più vasto pubblico. E’ in ciò che consiste il progresso del sapere ed è così che esso si realizza perché un nuovo risultato è tale e quando è capito quando è compreso nel suo perché e nel suo significato e, cosa più importante, quando possibile, connetterlo legarlo ad altri risultati.
Sarà così possibile rendere la matematica meno esoterica anche perché il lamento sull’esoterismo della matematica è una tradizione e un abito che occorre smettere.

Il problema dell’insegnamento è dunque il problema fondamentale della matematica, un problema che può giovare anzi è essenziale per lo stesso significato della matematica e per la sua crescita.
Il movimento noto sotto il nome di “movimento per il rinnovamento dell’insegnamento della matematica” fa ormai parte di una letteratura consolidata e passata.

In definitiva questo movimento c’è stato; è un dato di fatto. Non ha interessato solo la scuola ma il sapere e la cultura, i mezzi di comunicazione e i sistemi educativi in generale. Non è durato poco ma, almeno in Italia, se ne è discusso per quasi due decenni e chi vi ha partecipato ha vissuto dell’entusiasmo e dell’ansia innovativa degli anni sessanta e settanta. Si è trattato certo di un momento di eccitazione globale, di un periodo eroico che ha investito e pervaso il mondo dell’insegnamento della matematica. Oggi pure si discute di rinnovamento ma in forma diversa, come è pure giusto che sia. Non v’è più una teoria degli insiemi ma v’è l’informatica, ed è qualcosa di diverso; non vi sono particolari e nuovi argomenti o capitoli di cui si raccomanda l’importanza e l’inserimento nei programmi ufficiali di studio ma piuttosto e più semplicemente l’esigenza di una maggiore speditezza e significatività nella presentazione della matematica. Come prodotto di quel movimento, etichettato della matematica moderna v’è certo, nell’impostazione generale dei processi di riforma attuati in questi anni in Italia, il riconoscimento della centralità didattica della lingua e della matematica. L’augurio è che questa centralità possa essere conservata e rafforzata anche in riferimento agli stimoli provenienti da una nuova matematica moderna.

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15 comments

  1. Blue 14 settembre, 2015 at 19:10

    L’articolo proposto è un cosiddetto “grab”. Vale a dire: la esatta trasposizione di un documento. In questo caso uno scritto di due autorevoli studiosi su una autorevolissima rivista specialistica come recita il riferimento sotto il titolo: E. Ambrisi e B.Rizzi, I problemi di Hilbert : rilevanza storica e metodologica, in Periodico di Matematiche, n.2/1993.
    Si poteva, dal punto di vista redazionale dare un “taglio” più divulgativo mantenendo l’essenza di quanto scritto? Si potevano “sintetizzare” (senza snaturarli) i concetti espressi?
    No, non si poteva.
    Quando si riportano gli scritti, si cita la fonte, gli autori, si deve fedelmente trascrivere tutto. Per non incorrere nella violazione dei diritti d’autore. Chi ha scritto ha il diritto di vedere pubblicato integralmente il proprio lavoro senza condensazioni arbitrarie. Così almeno è quanto ho potuto accertare.
    Quando mi sono lanciato nella lamentela sull’elitarismo di quanto proposto ho trascurato questo ineludibile ostacolo.
    Certo che qualcuno (di noi) avrebbe potuto, mettendoci la sua firma e il suo impegno (credo qui sproporzionato alle nostre forze, almeno per quanto ne so io), scrivere di questo argomento condensando ma mantenendo i concetti di base espressi, magari allargandoli ad altri ambiti e pescando in altre fonti (altrettanto limpide). Forse sarebbe stato (se qualcuno ci fosse riuscito…) auspicabile e ciò avrebbe allargato la platea degli spettatori.
    Restiamo a terra. Facciamo noi, nella nostra testa, facendo i conti con le nostre capacità ed i nostri limiti questa opera di sintesi obbligata per non perderci nell’infinito universo del sapere. Prendiamo quello che possiamo, facendo un piccolo sforzo per salire sul gradino immediatamente superiore a quello che ci sembra di avere a fatica conquistato.
    Questo che dico penso si possa estendere a tutto quanto qui viene pubblicato e proposto. Vale per le scienze, l’economia, per l’arte, per tutti gli ambiti in cui l’uomo manifesta il suo sapere e le sue emozioni. Credo che l’ambizione di una proposta culturale (come forse è diventata Modus) debba collocarsi in questa prospettiva.
    Quindi non elitarismo ma ricerca di qualità.

    Tornando al nostro tema – attualissimo visto che si è appena concluso a Siena il congresso dei matematici italiani – concluderei con quanto detto e scritto da Rosetta Zan (presidente della commissione per l’insegnamento della matematica).
    “Dovremmo osare di più e avere fiducia nell’intelligenza dei ragazzi. Invece continuiamo a banalizzare e a risparmiargli problemi. Ma è proprio questo che li porterà ad andare in crisi nella vita”

    Ps. Alcuni link utili:

    http://umi.dm.unibo.it/congresso2015/

    http://www.corriere.it/scuola/primaria/15_settembre_12/matematica-convegno-siena-rosetta-zan-problemi-errori-prof-sbagliare-f332e900-5932-11e5-bbb0-00ab110201c3.shtml

    http://www.dm.unibo.it/rsddm/

  2. Genesis 14 settembre, 2015 at 08:15

    Concordo con Blue…e ne spiego il motivo.
    Credo che il linguaggio utilizzato per spiegare qualcosa debba essere utile per, appunto, spiegare…aiutare nella comprensione di un testo il lettore è il principio per cui ogni studioso, di qualsiasi materia, deve attenersi per portare il (i) concetto alla portata di qualsiasi individuo volesse alimentare la propria cultura.
    L’esempio classico, che spesso espongo nel merito, è quello dell’insegnamento della religione cattolica. Fino ad una manciata di decenni fa, le messe, la lettura della bibbia, qualsiasi esposizione da parte del magistero cattolico, venivano fatte in latino; lingua, il latino, che era propria di chi poteva studiarla a scuola. Chi aveva la possibilità di studiare (la nobiltà e la borghesia) erano una élite di persone…il popolo, il volgo cui effettivamente quelle parole erano destinate, rimaneva in un limbo alimentato a dismisura dai “possessori” del verbo con il “Dio castigatore”, il “Peccato” e qualsiasi altra diavoleria che mantenesse assoggettate le persone.
    Altro esempio…
    In campo matematico, quanti di noi nella semplicità dell’operazione matematica della “divisione a due cifre” si sono scontrati contro il muro di difficoltà alimentato da quel “il divisore ci sta nel dividendo, più o meno quante volte”…? La difficoltà dello spiegare con quel fatidico “più o meno”, decisamente semplice se portata ad una visione di assieme trovando un “trucco” per riuscire a trovare il “maledetto” quoziente richiesto…
    Spesso per spiegare un qualcosa ci si immerge nell’ostica reazione del proprio essere…cioè…rimanere seduto sul trono della cattedra e fregarsene se la scolaresca non impara…lamentandosi poi con i genitori della svogliatezza degli alunni.

    Per questo vedo l’articolo esposto, appunto, elitario…cioè volto all’attenzione di un pubblico ben definito e che ha proprie cognizioni “d’alto rango”…forse ancora oltre quelle che le nostre università insegnano…ad esempio uno dei punti citati all’inizio:
    4 Il problema della retta come curva di minima distanza tra due punti
    Qualsiasi “diplomato” sa che una “retta” è quella linea che non ha fine…cioè una “linea” infinita: non se ne conosce il punto d’inizio e nemmeno quello finale, perchè non esistono (ed è già difficile comprendere questo)…perchè indicare quindi nei paradossi questa frase?…sicuramente il punto quattro è legato a diversi altri assiomi matematici che, sicuramente, non sono propri della stragrande maggioranza delle persone!

    • Kokab 14 settembre, 2015 at 10:31

      caro genesis, come spesso succede vediamo il mondo e le cose diversamente, ma penso che non litigheremo per così poco.
      secondo me la semplificazione è utile fino al punto in cui non diventa inutile, ossia fino a quando riesce a spiegare le cose e non a confonderle o a lasciarle del tutto sconosciute; se uno vuole leggere la fenomenologia dello spirito, o la logica di aristotele, o studiare la funzione z di reiman, o, che so, i principi della termodinamica e la fisica quantistica, si deve allacciare le scarpe e non può scendere, neppure a livello divulgativo, al di sotto di un certo livello.
      non è per tutti? certo che no, ma nulla di quello che scriviamo qui dentro è “per tutti”, anche se ci sono certamente diversi livelli di conoscenza, competenza e capacità di approfondimento; come facciamo a stabilire il limite? è quello della nostra personale conoscenza? nostra di chi? di kokab? di genesis? di blue? di ludi?
      nessuno di noi conosce le centinaia di lettori di questo sito, e non possiamo escludere che ce ne siano di più colti e preparati di noi, cosa peraltro neppure tanto difficile.
      io personalmente, per restare agli esempi proposti, sono venuto a capo di hegel e di aristotele, ma dalla funzione di reiman le ho prese di santa ragione, e non oso pensare a cosa mi farebbero i principi della termodinamica e la fisica quantistica, però, quando mi rompo la testa con cose che mi sono ostiche, e uno lo fa se ne ha voglia, qualche frammento di informazione, non dico neppure di conoscenza, mi resta, e mi procura un qualche perverso piacere.
      e poi, crediamo veramente che quando parliamo di politica, di diritto, di economia o di principi etici siamo comprensibili per tutti?
      posso concedere che il pubblico potenziale sia più ampio, ma per fare un esempio, i miei genitori, che avevano fatto la quinta elementare, non sarebbero riusciti a seguirci; e allora che cosa facciamo, ci adeguiamo al livello di emilio fede?
      certo, la scienza, nell’accezione più vasta del termine, è di gran lunga la materia più complessa, e proprio per questo, se ce ne vogliamo occupare, dobbiamo accettare qualche rischio: non ci sono soluzioni semplici, ma non abbiamo mica pubblicato la dimostrazione della funzione z, se non tutti apprezzano abbiamo anche molte altre proposte, è una delle ricchezze di queste pagine.

  3. Blue 13 settembre, 2015 at 21:21

    Per Ludi, Kokab, Tigra e tutti coloro che seguiranno.
    Chiarisco quanto, evidentemente, ho detto male.
    Non volevo demolire quanto proposto dall’articolo in oggetto. Anzi. Ritengo che il sapere matematico, la sua organizzazione ed il suo insegnamento – conseguenti alla spaventosa mole dei temi e dei problemi accumulatisi nel tempo – necessitino di un lavoro specialistico da parte degli studiosi. Ma proprio in vista di quello che deve (secondo me, ovviamente…) costituire il cardine divulgativo di questo sapere occorre prescindere da un linguaggio elitario e la proposta didattica dovrebbe strutturarsi secondo schemi di comunicazione semplificati. Che non vuol dire perdere di rilevanza ma solo ridurre il volume (conseguentemente la complessità) delle argomentazioni esposte. Cosa che, mi pare, l’articolo in oggetto non fa, indipendentemente da quanto fatto da Hilbert e da coloro che nella sua scia si sono storicamente mossi. Tutto qui.

  4. M.Ludi 13 settembre, 2015 at 11:42

    Il paradosso di una vita protesa nella sua fase iniziale ad una formazione scientifica per poi virare verso il mondo umanistico, mi vede oggi lontano dalle tematiche affrontate nell’articolo; ma se il difetto di aver perso larga parte delle informazioni acquisite allora, può essere controbilanciato dalla cultura stratificatasi in seguito alle letture non più imposte dalla scuola, posso affermare oggi di non essere esperto in quasi niente ma, nel contempo capace di trarre spunti di riflessione un pò da tutto. Non mi dilungherò,quindi, sull’argomento in questione se non per affermare, senza tema di smentita alcuna, che la storia è stata scritta, prima che da coloro i quali hanno fornito le risposte, da tutti quei curiosi inguaribili che hanno posto domande, spesso in periodi storici nei quali avere dubbi comportava rischi altissimi

  5. Blue 13 settembre, 2015 at 10:53

    L’argomento proposto dall’articolo riveste una notevole importanza. Saltando la parte introduttiva che mi pare talmente specialistica e rivolta ad un pubblico così rarefatto da risultare illeggibile ai più, mi soffermo sugli ultimi paragrafi che costituiscono, secondo me, il nocciolo della questione. A tale proposito mi permetto di suggerire, in tema di “Matematica, insegnamento e comunicazione”, il seguente link che tale argomento tratta in modo complesso ma esaustivo.
    Si tratta di un documento, relativamente recente, del dipartimento di scienze matematiche dell’Università di Palermo.

    http://math.unipa.it/~grim/Epist_Sperim_Capitolo%202_09.pdf

    • Tigra 13 settembre, 2015 at 12:51

      Caro Blue, io non ho una formazione scientifica, ma mi sembra che l’unica pretesa della parte iniziale dell’articolo sia quella di elencare i titoli dei problemi che poneva Hilbert, immagino per darci l’idea della loro complessità, e non per farceli tecnicamente comprendere, forse definirla “illeggibile” è un po’ ingeneroso nei confronti dell’autore.
      In ogni caso leggerò volentieri il link che hai postato.

      • Blue 13 settembre, 2015 at 13:59

        Cara Tigra, ho forse esagerato nel termine ma, francamente, pur essendo in grado, abbastanza :), di “decifrare” lo scritto, mi pare che qui, in questa sede, si dovrebbero filtrare, condensandoli e semplificandoli, articoli che per loro natura sono assolutamente destinati ad una élite di studiosi. Questa operazione di sintesi di concetti così complessi, potrebbe (potrebbe!!…) avere il pregio di coinvolgere anche coloro cui basterebbero le informazioni di base (che sono quelli espressi, appunto, nei paragrafi terminali) senza doversi sorbire tutta la parte “difficile ed indigesta” preliminare decisamente rivolta a chi tali temi li ha (quasi ma non sempre…) digeriti da tempo. Ma il mio è solo un modesto suggerimento redazionale. Vedrai d’altro canto, se avrai la pazienza e la costanza di leggere il link che ho suggerito, quanto articolata e complessa sia la questione, pur mantenendosi sui caratteri generali del tema. Buona lettura 🙂

        • M.Ludi 13 settembre, 2015 at 14:41

          Se un contributo posso aver dato è quello di poter sempre trovare una morale se si ha voglia di farlo. Ho letto l’articolo con difficoltà ma con immutata curiosità. Per me le élite non esistono e, qualora esistessero, è un loro problema, non mio.

          • Blue 13 settembre, 2015 at 17:08

            Questione di punti di vista.
            Per me le élites esistono. Formate da persone con spiccate affinità (di qualunque tipo), si consolidano e, normalmente, escludono. E questo, di solito, può rappresentare un problema. Certamente non per loro.
            Quanto alla propria personale curiosità partecipativa e “la voglia di trovare una morale” – per restare nel tema dell’articolo – è una funzione a troppe variabili per poter essere decrittata 🙂

          • Kokab 13 settembre, 2015 at 17:48

            ci sono elites chiuse, e ci sono anche quelle aperte. quello di hilbert mi sembra un apprezzabile sforzo di apertura, come pure il tema conduttore dell’articolo, che si chiede come rendere più accessibile la matematica non elementare. io personalmente, cercando di capire un po’ meglio le cose che mi riescono ostiche, come questa, sono riuscito a chiudere qualche buco (pochi) nella mia ignoranza.

  6. Kokab 11 settembre, 2015 at 16:42

    la cosa curiosa di questo scritto è che pur essendo molto vecchio mantiene una grande freschezza ed attualità, forse perchè racconta la storia di un’idea che ha anticipato e rappresentato uno degli aspetti positivi della modernità.
    i grandi matematici sono spesso immaginati come uomini geniali, scorbutici e solitari, che nel chiuso del loro pensiero trovano la chiave per la soluzione dei problemi, e l’immagine, in molti casi, non è affatto sbagliata; hilbert ha provato a ribaltare il tavolo, e invece che soluzioni ha cercato problemi, che poi la comunità dei matematici, nel tempo, ha sostanzialmente risolto, e oggi, a poco più di un secolo, manca solo la soluzione del problema numero 8, quello relativo alla funzione z di rieman, che la fretta di una governante, che per fare ordine ha bruciato le carte del professore dopo la sua morte, ci ha impedito di sapere se lo studioso tedesco aveva risolto o no.
    a me pare che il metodo di hilbert sia quello della scienza moderna, che organizza il sapere, che risolve i problemi, e che li rende contemporaneamente più complessi, in un contesto che tende per un verso all’universalità, e per un altro alla specializzazione estrema, e se anche la scienza potrà essere esaustiva, personalmente penso e spero di si, lo potrà essere in sè e non nella testa dei singoli scienziati.
    per questo, ossia per limitare l’eccessiva segmentazione, mi pare particolarmente intrigante il modo in cui è stato posto, e non credo definitivamente risolto, il problema dell’insegnamento.

    • Genesis 11 settembre, 2015 at 16:56

      …un po’ come le “dimostrazioni per assurdo”…che tanto mi facevano imbestialire…
      Da quanto ricordo la fatidica funzione zeta è legata anche alla “statistica” e alle analisi delle “probabilità”…una scienza forse troppo imperfetta, giocata spesso dai nostri politici…

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